Optimal adaptive FEM with iterative solver driven by non-residual estimators

Abstract

Das Ziel jedes numerischen Verfahrens für partielle Differentialgleichungen ist die Berechnung einer Näherungslösung mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit bei minimaler Rechenzeit. Zu diesem Zweck umfasst die adaptive Finite-Elemente-Methode (AFEM) neben einer schätzerbasierten lokalen Netzverfeinerung einen inexakten Löser mit einem ausgeklügelten Abbruchkriterium, um die verschiedenen Fehlerkomponenten auszugleichen. Zur a posteriori Fehlerschätzung des Diskretisierungsfehlers setzt die state-of-the-art Analysis für AFEM mit inexaktem Löser auf den Residualschätzer. Dieser erfüllt die sogenannten axioms of adaptivity aus [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius: Comput. Math. Appl. 67, 2014]. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die aktuelle Analysis von [Bringmann, Feischl, Miraçi, Praetorius, Streitberger: Comput. Math. Appl. 180, 2025] auf adaptive Algorithmen mit inexaktem Löser zu erweitern, die durch nicht-residualbasierte Fehlerschätzer gesteuert werden. Dies wird durch die Tatsache motiviert, dass es viele andere Fehlerschätzer mit wünschenswerten praktischen und numerischen Eigenschaften gibt. Basierend auf einer Idee von [Kreuzer, Siebert: Numer. Math. 117, 2011], die AFEM für nicht-residualbasierte Schätzer, aber mit exaktem Löser analysieren, werden in dieser Arbeit Fehlerschätzer betrachtet, die zwar nicht die axioms of adaptivity erfüllen, aber in einem gewissen Sinne lokal äquivalent zum Residualschätzer sind. Im abstrakten Rahmen der axioms of adaptivity betrachten wir allgemeine lineare elliptische PDEs zweiter Ordnung. Das Hauptresultat ist der Beweis der parameter-unabhängigen vollen R-linearen Konvergenz von AFEM mit inexaktem Löser, die durch einen lokal äquivalenten Schätzer gesteuert wird, d.h. Kontraktion eines geeigneten Quasi-Fehlers in jedem Schritt des Algorithmus unabhängig von den vom Benutzer gewählten Parametern. Dies verifiziert die unbedingte Konvergenz des adaptiven Algorithmus und erlaubt es, in einem weiteren Schritt die optimale Komplexität des adaptiven Algorithmus zu zeigen, d.h. optimale Konvergenzraten bezüglich der kumulierten Rechenzeit. Zudem zeigt die Arbeit, dass der ZZ-Schätzer von [Zienkiewicz, Zhu: Int. J. Numer. Methods Eng. 24, 1987] und Schätzer basierend auf Fluss-Equilibrierung (siehe z.B. [Ern, Vohralík: SIAM J. Numer. Anal. 53, 2015] und die dort zitierten Arbeiten) lokal äquivalent zum Residualschätzer sind, wodurch die optimale Komplexität für AFEM, die durch die diese Schätzer gesteuert wird, bewiesen wird. Die Arbeit schließt mit numerischen Experimenten, die die theoretischen Resultate bestätigen und eine praktische Anwendung anderer Fehlerschätzer in AFEM aufzeigen.

The ultimate goal of any numerical scheme for partial differential equations (PDEs) is to compute an approximation of user-prescribed accuracy at minimal computational cost. To this end, the adaptive finite element method (AFEM) employs an estimator-steered local mesh-refinement strategy and an inexact solver with a cleverly designed stopping criterion to balance the different error components. The state-of-the-art analysis for AFEM with inexact solver hinges on the standard residual-based estimator for a posteriori error estimation of the discretization error. This estimator satisfies the so-called axioms of adaptivity from [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius: Comput. Math. Appl. 67, 2014]. The goal of this thesis is to extend the current analysis from [Bringmann, Feischl, Miraçi, Praetorius, Streitberger: Comput. Math. Appl. 180, 2025] to adaptive algorithms with inexact solver steered by non-residual error estimators. This is motivated by the fact that there are many other error estimators with desirable practical and numerical properties. Based on an idea of [Kreuzer, Siebert: Numer. Math. 117, 2011], that considers AFEM for non-residual-based estimators yet exact solver, we consider estimators that do not satisfy the axioms of adaptivity directly, but are locally equivalent to the residual-based estimator in a certain sense. In the abstract framework of the axioms of adaptivity, we consider general second-order linear elliptic PDEs in this thesis. Our main contribution is proving parameter-robust full R-linear convergence of AFEM with inexact solver steered by a locally equivalent estimator, i.e., contraction of a suitable quasi-error in every step of the algorithm independently of the user-chosen parameters. This proves unconditional convergence of the adaptive algorithm and allows to show optimal complexity, i.e., optimal convergence rates with respect to the total computational time. Moreover, the thesis shows that the ZZ-estimator from [Zienkiewicz, Zhu: Int. J. Numer. Methods Eng. 24, 1987] and the equilibrated flux estimator (see, e.g., [Ern, Vohralík: SIAM J. Numer. Anal. 53, 2015] and the references therein) are locally equivalent to the residual-based estimator, thus proving optimal complexity for AFEM steered by these estimators. The thesis closes with numerical experiments that support the theoretical results and demonstrate the practical application of other error estimators in AFEM.