Modeling of Signals by using Matrix-valued Optimal Mass Transport

Abstract

Optimaler Massentransport (OMT) ist eine Methode, um zu beschreiben, wie man die Werte einer ersten gegebene Funktion f verschieben muss, um eine zweite gegebene Funktion g zu erhalten. Wir können ein Ähnlichkeitsmaß zwischen f und g definieren, indem wir messen, wieviel wir von f verschieben müssen, um g zu erhalten. Mithilfe dieses Maßes können wir nun eine weitere Funktion bestimmen, die f und g so ähnlich wie möglich ist und dementsprechend als Mischung der beiden Funktionen gesehen werden kann. Im klassischen Fall ist OMT für nichtnegative, reellwertige Funktionen definiert. In dieser Arbeit erweitern wir OMT auf Funktionen, die in die Menge der hermiteschen, positiv semidefiniten Matrizen abbilden. Diese Funktionen repräsentieren beispielsweise multidimensionale Signale. Wir betrachten Signale als stochastische Prozesse und sind an ihren statistischen Eigenschaften interessiert, insbesondere an der Autokovarianz und Kreuzkovarianz. Der Satz von Herglotz liefert einen Zusammenhang zwischen der Autokovarianz und dem Spektralmaß. Wir erweitern die Aussage auf den multidimensionalen Fall, indem wir auch die Kreuzkovarianzen einbeziehen. Wir zeigen, dass die Matrix der Kreuzspektralmaße positiv semidefinit und daher ein Kandidat für die Methoden des OMT ist. Als Anwendung wollen wir mithilfe von OMT in einem Raum mit einer Signalquelle und zwei Sensoren jenes Signal modellieren, das in der Mitte der beiden Sensoren gemessen werden würde. Für diesen Zweck implementieren wir OMT in MATLAB. In der Formulierung von OMT wird nach einem optimalen Weg gesucht, um g aus f zu erhalten. Dementsprechend müssen wir nun ein konvexes Optimierungsproblem lösen. Die Berechnung benötigt eine kurze Rechenzeit. Wir erhalten Ergebnisse, die den tatsächlichen Messungen an der untersuchten Stelle entsprechen könnten und haben somit eine vielversprechende Methode entwickelt, um Signale zu modellieren.

Given two functions f and g, optimal mass transport (OMT) is a method of describing how we can rearrange the values of f in order to obtain g. By considering how much we have to rearrange to obtain g, we define a measure of similarity between f and g. This can be used to determine a function that is as similar as possible to both f and g and hence represents a mixture of the two functions. In the classical setting, OMT is defined for non-negative, real-valued functions. In this thesis, we redefine optimal mass transport for functions that map to the Hermitian, positive semi-definite matrices. These functions can represent, e.g., multidimensional signals. We consider signals as stochastic processes and are interested in their statistical properties, in particular the autocovariance and cross-covariance. Herglotz’s theorem provides a connection between autocovariance and spectral measure, however we extend the statement to the multidimensional case by considering cross-covariances. We show that the matrix of the cross-spectral measures is positive semi-definite and thus is a candidate for the methods of optimal mass transport. As an application, a room with a signal source and two sensors is given. We use OMT to model the signal that would be measured in the middle of the two sensors. For this purpose, we implement OMT in MATLAB. In the formulation of OMT, we need to find an optimal way of obtaining g from f. Hence, this requires solving a convex optimization problem. The computation can be done in a short time. We obtain results that could resemble actual measurements at the considered location and hence we have developed a promising method of modeling signals.