Asymptotics of extremal polynomials on a Jordan curve or arc

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit extremalen Polynomen auf einer Jordan-Kurve oder einem Jordan-Bogen. Für festen Grad und Bedingung an einem Punkt $z_0 \in \C \cup \{\infty\}$ minimieren diese Polynome eine (gewichtete) $L^r$-Norm für $0 < r \leq \infty$ . Wir interessieren uns besonders für das asymptotische Verhalten dieser Polynome, wenn der Grad gegen unendlich geht, bekannt als Szeg\H o-Widom-Asymptotik. Klassische Beispiele für extremale Polynome sind orthogonale und Chebyshev-Polynome, die der $L^2$- bzw. $L^\infty$-Norm und dem Referenzpunkt $z_0 = \infty$ entsprechen. Asymptotische Resultate für Chebyshev-Polynome gehen bereits auf die Werke von Faber, Fekete und Szeg\H o zu Beginn des 20. Jahrhunderts zurück. Widom hat später die Theorie maßgeblich weiterentwickelt, indem er die Vereinigung mehrerer disjunkter $C^{2+}$-Jordan-Kurven betrachtet hat. Wir fokussieren uns auf einfach zusammenhängende Gebiete, in welchen wir Szeg\H o-Widom-Asymptotik für alle Punkte im Äußeren einer $C^{1+}$-Jordan-Kurve zeigen können. Für $L^r$-extremale Polynome bezüglich einer Jordan-Kurve mit $0 < r < \infty$ können wir die Theorie ähnlich ausbauen, indem wir bekannte Resultate für $z_0 = \infty$ auf beliebige Punkte im Äußeren der Kurve erweitern. Tatsächlich sind die Grenzwerte für alle $0 < r \leq \infty$ identisch und werden durch den reproduzierenden Kern eines Hardy-Raums analytischer Funktionen gegeben. Für Jordan-Bögen bleibt die Frage nach der $L^\infty$-Szeg\H o-Widom-Asymptotik, selbst für $z_0 = \infty$, derzeit ungelöst. Allerdings ist die Asymptotik für Teilbögen des Einheitskreises bekannt und entspricht dem $L^2$-Fall. Wir stellen die Vermutung auf, dass dies auch für allgemeine $C^{1+}$-Jordan-Bögen gilt. Darüber hinaus können wir im $L^2$-Fall ein Resultat von Widom für absolut stetige Maße und $z_0 = \infty$ auf Maße mit Singulärteil und beliebige Punkte außerhalb des Jordan-Bogens erweitern.

This thesis investigates extremal polynomials on a Jordan curve or arc in the complex plane. For a fixed degree and constraint at $z_0\in \C\cup \{\infty\}$, these polynomials minimize a (weighted) $L^r$-norm for $0