On an approach for analyzing the jump activity index of high frequency data

Abstract

Diese Diplomarbeit handelt vom 'jump activity index', welcher für beliebige Semimartingale definiert ist. Der Index ist eine Erweiterung des Blumenthal-Getoor Index, welcher für Lévyprozesse berechnet werden kann. Durch den 'jump activity index' wird das Sprungverhalten von unendlich vielen kleinen Spüngen eines Semimartingals beschrieben. Gibt es nur endlich viele Sprünge, so nimmt der Index den Wert Null an. Dieser Index wurde von Äit-Sahalia und Jacod defniert, und in ihrer Publikation 'Estimating the Degree of Activity of Jumps in High Frequency Data', zeigen sie Resultate seines asymptotischen Verhaltens. In dieser Arbeit besprechen wir zwei ihrer zentralen Ergebnisse aus der soeben genannten Publikation, nachdem wir einen kurzen Einblick in die Entwicklung der Verwendung von high frequency data geben und einige notwendige mathematische Grundlagen beschreiben. Wir befassen uns hierbei mit Semimartingalen, mit der stabilen Konvergenz und mit stabilen Prozessen. Bei der Abhandlung der Beweise, versuchen wir jeden Schritt einzeln, ausführlich und klar verständlich darzustellen. Abschließend implementieren wir das Diskutierte in Matlab um Ergebnisse auch graphisch darzustellen.

This thesis deals with the topic of the jump activity index, which is defined for any generic semimartingale. The index is an extension of the Blumenthal-Getoor index, which can be calculated for Lévy Processes only. The jump activity index characterizes the e behavior of small jumps of semimartingales, in the case of infinitely many jumps being present. If the process only shows finitely many jumps, its value is zero. The index is defined by Ait-Sahalia and Jacod, and they show details about its asymptotic behavior in their paper 'Estimating the Degree of Activity of Jumps in High Frequency Data'. We discuss two of the main results of this paper, after we give a brief overview of the development of the usage of high frequency data and the corresponding mathematical theory. By doing so, we provide some details on semimartingales, stable convergence and stable processes. In the discussion of the proofs we try to be rigorous, give many details and split them into steps which are easy to understand. Finally we provide some implementations in Matlab, to allow for a visualization of the discussed material.