Special sets of real numbers and variants of the Borel Conjecture

Abstract

Diese Dissertation beschäftigt sich mit Fragen über Mengen von reellen Zahlen, insbesondere kleinen (oder speziellen) Mengen wie zum Beispiel starken Nullmengen oder stark mageren Mengen. Sie enthält das gemeinsame Resultat mit Martin Goldstern, Jakob Kellner und Saharon Shelah, daß es konsistent ist, daß die Borel-Ver mutung (d.h., alle starken Nullmengen sind abzählbar) und die duale Borel-Vermutung (d.h., alle stark mageren Mengen sind abzählbar) gleichzeitig gelten. Weiter s wird die Charakterisierung von Galvin-Mycielski-Solovay für starke Nullmengen auf allgemeinere Strukturen ausgedehnt, beispielsweise auf lokalkompakte Gruppen; andererseits wird ein Beispiel für eine Gruppe gegeben, in der diese Charakterisierung fehlschlägt. Es wird auch der neue Begriff des "Sacks dense ideal" eingeführt, um Mengen, die mit dem Marczewski-Ideal zusammenhängen, zu untersuchen.

This thesis deals with questions about subsets of the real line, in particular small (or special) sets such as strong measure zero or strongly meager sets. It contains the joint result with Martin Goldstern, Jakob Kellner, and Saharon Shelah that it is consistent that the Borel Conjecture (i.e., all strong measure zero sets are countable) and the dual Borel Conjecture (i.e., all strongly meager sets are countable) hold simultaneously. Moreover, it presents versions of the Galvin-Mycielski-Solovay characterization of strong measure zero sets for more general settings, e.g., for locally compact groups; on the other hand, it provides an example of a group for which this characterization fails. Also, the new notion of "Sacks dense ideal" is introduced, in order to explore sets connected to the Marczewski ideal.