Growth estimates for nevanlinna matrices

Abstract

Wir betrachten ein zweidimensionales kanonisches System, das ist eine Differentialgleichung einer gewissen Gestalt auf einem Intervall, die durch eine lokal integrierbare Funktion H, den Hamiltonian, gegeben ist. Dieser nimmt reelle, positiv semidefinite 2x2 Matrizen als Werte an. Im Grenzkreisfall, d.h. wenn H bis zum rechten Intervallrand integrierbarist, kann die Fundamentallösung eines kanonischen Systems dort ausgewertet werden. Man erhält die sogenannte Monodromiematrix, eine Nevanlinna Matrix bestehend aus 4 ganzen Funktionen mit identischem Wachstum. Wissen über das Wachstum dieser Funktionen liefert das asymptotische Verhalten des Spektrums von selbstadjungierten Realisierungen des kanonischen Systems. Es stellt sich die Aufgabe, das Wachstum für einen gegebenen Hamiltonian möglichst exakt zu bestimmen. Der Exponentialtyp kann mithilfe der Krein-de Branges Formel als das Integral von der Wurzel der Determinante von H berechnet werden. Falls dieses Integral jedoch Null ist, d.h. falls die Determinante von H fast überall verschwindet, liefert die Krein-de Branges Formel keine signifikante Information. Nach einem einführenden Teil beschäftigen wir uns zunächst mit allgemeinen kanonischen Systemen und verfeinern zwei Sätze von Roman Romanov. Im zweiten Teil studieren wir den wichtigen Spezialfall eines Hamburger Hamiltonians.

We consider two-dimensional canonical systems, i.e. differential equations of a certain type on an interval which are given by a locally integrable function H, the Hamiltonian. This function takes real, positive semi-definite 2x2 matrices as values. In the limit circle case, i.e. if H is integrable on the whole interval, it is possible to evaluate the fundamental solution of the canonical system at the right-end point. This matrix is called the monodromy matrix; it is a Nevanlinna matrix consisting of four entire functions having the same growth. Knowledge about the growth of these functions gives rise to asymptotics of the spectra of selfadjoint realisations of the canonical system. The task is to determine the growth for a given Hamiltonian H. The exponential type is given by the Krein-de Branges formula as the integral of the square root of the determinant of H. If this integral is zero, i.e. if the determinant of H is zero almost everywhere, then this formula only gives minimal exponential type, and further investigations are necessary. After an introductory part, we first consider general Hamiltonians and refine two Theorems of R. Romanov. In the second part we focus on the important subclass of Hamburger Hamiltonians.