Geometric analysis of multi-scale solutions in regularized models of microstructures and touchdown phenomena in MEMS

Abstract

Die Analysis qualitativer Eigenschaften von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen (PDEs) durch Methoden aus der Theorie dynamischer Systeme ist ein aktives Forschungsgebiet. Ein wichtiges Thema dabei ist die Analyse der Existenz, Stabilität und Verzweigung von speziellen Lösungen, die wesentliche Merkmale der zu untersuchenden PDE enthalten. Insbesondere für PDEs mit singulären Störungen oder Singularitäten hat sich dabei eine Kombination aus Methoden aus der Theorie dynamischer Systeme, Methoden der singulären Störungstheorie und numerischen Berechnungen als sehr effektiv erwiesen. Dieses Projekt befasst sich mit zwei Problemen dieser Art, die neuartige Multiskalenmerkmale aufweisen. Im ersten Problem untersuchen wir die Euler-Lagrange-Gleichung der Regularisierung eines nichtkonvexen Variationsproblems, das als einfaches mathematisches Modell für Mikrostrukturen in Formgedächtnislegierungen auftritt. Für dieses singulär gestörte Hamiltonsche System beweisen wir die Existenz einer Klasse von periodischen Lösungen und untersuchen ihre Abhängigkeit von den wesentlichen Parametern durch asymptotische Methoden und numerische Fortsetzung. Das Ziel ist ein besseres Verständnis der Struktur von minimierenden Lösungen und ihres ungewöhnlichen Skalierungsverhaltens. Mittels numerischer Pfadverfolgung werden zusätzlich neue Typen von Lösungen gefunden. Das zweite Problem betrifft die Asymptotik und Verzweigung von stationären Lösungen eines Modells für mikroelektromechanische Systeme (MEMS). Dieses Modell wurde kürzlich als Regularisierung eines einfacheren Modells vorgeschlagen, von dem bekannt ist, dass es in endlicher Zeit Singularitäten entwickelt. Für dieses Problem wird das numerisch berechnete Verzweigungsdiagramm erklärt, indem die Interaktion des Regularisierungsterms mit der für das Touchdown-Phänomen verantwortlichen Singularität im Detail untersucht wird. Dabei wird die Blow-up-Methode verwendet, um die Dynamik in der Nähe der Singularität zu analysieren und rigorose Ergebnisse zu erhalten, welche die bereits existierende formale Asymptotik und Numerik beweisen und ergänzen. Ein zentraler aspekt dabei ist die Untersuchung einer speziellen Sattel-Knoten Verzweigung, deren numerische Untersuchung aufgrund ihres singulären Charakters sehr schwierig ist. Diese neuartige Erweiterung der Blow-up-Methode zur Analyse von Randwertproblemen und singulären Grenzenwerten in Verzweigungsproblemen hat das Potential auch in anderen Zusammenhängen von Nutzen zu sein.