Instanz-Optimalität adaptiver FEM

Abstract

Ziel dieser Arbeit ist der Beweis der Instanz-Optimalität der Adaptiven Finiten Elemente Methode (AFEM) bestehend aus dem in Kapitel 7 beschriebenen Algorithmus. Beginnend mit einer kurzen Einführung in Newest Vertex Bisection (NVB), widmen sich die ersten Kapitel dem geometrischen Aspekt der AFEM. Mit Hilfe der Knotenmengen von Triangulierungen, genannt Populationen werden weitere, in der aposteriori Analysis benötigte Netzeigenschaften bewiesen. Als Modellproblem wählen wir die Poissongleichung im R 2 mit homogenen Dirichlet-Randdaten. In weiterer Folge zeigen wir neben diskreter Effizienz und Zuverlässigkeit des kantenbasierten Residualschätzers eine Lower Diamond Estimate für den Schätzer sowie für das Energiefunktional. Aufbauend auf der Maximumsstrategie stellen wir einen adaptiven Algorithmus mit modifizierten Markierungsstrategie vor. Abschließend wird mit Hilfe der oben erwähnten Netz- und analytischen Eigenschaften die Energieoptimalität beweisen. Aus dieser lässt sich schlussendlich die Instanz-Optimalität für den Fehler folgern.

This thesis aims to prove the instance optimality of the adaptive finite element method (AFEM). The thesis and hence the proof of the instance optimality is organized as follows. First, we take a look on Newest Vertex Bisection (NVB), which is used for refining triangulations. Therefore, after a short introduction we take a different approach to look at meshes via the nodes of a triangulation. This so called Population-model allows us to derive some new properties of NVB, which are necessary in proof of the main result later on. In the next chapter, we introduce the Poisson model problem in $\R 2$ with homogeneous Dirichlet boundary conditions and give review of some needed function spaces. In this setting, we prove besides the discrete efficiency and reliability of the edge based residual error estimator, a so called lower diamond estimate for the energy functional and the total error. Chapter 7 contains the adaptive algorithm, which is steered by the maximum strategy with a slightly modified marking criterion. Finally we prove, first energy- and subsequently instance optimality for the total error.