Modelling, analysis and numerical discretisation of Maxwell-Stefan Cross-diffusion systems

Abstract

Die Maxwell-Stefan Gleichungen sind ein wichtiges Modell mit zahlreichen Anwendungen in Industrie und Technik, welche rein diffusive Prozesse zwischen zwei und mehr Gasen beschreiben können. Als einige Anwendungen der Maxwell-Stefan-Gleichungen (je nach Anwendungen mit leichten Modifikationen) seien unter anderem Polymere, Plasmen, Ultrafiltration, Elektrolyse und sogar die Beschreibung diffusiver Phänomene in der menschlichen Lunge zu nennen. In dieser Arbeit wird zunächst zum besseren Verständnisses des Modells eine Herleitung der Maxwell-Stefan Gleichungen aus den Boltzmann-Gleichungen anhand eines jüngeren Resultats von Boudin unternommen, um den physikalischen Anwendungsbereich und die Verbindung zwischen mikroskopischer und makroskopischer Beschreibung deutlich zu machen. Weiters wird ein kurzer Überblick auf aktuelle Forschungsfragen gegeben, wonach möglicherweise einige Simplifizierungen des Modells fallen gelassen werden können. Weiters wird ein wichtiges Resultat zur Existenz schwacher Lösungen der Maxwell-Stefan Gleichung von Jüngel und Stelzer ausgearbeitet, wobei die Einordnung des Beweises in den verallgemeinerten Rahmen der "Boundedness-By-Entropy''-Methode für Kreuz-Diffusionssysteme von Jüngel besprochen wird. Im praktischen Teil der Arbeit wird anhand der in dem Existenzbeweis verwendeten Methode, welche sogenannte Entropievariablen verwendet, eine neuartige numerische Diskretisierung vorgestellt, welche die Maxwell-Stefan-Gleichungen löst. Die Ortsdiskretisierung wird hierbei mit einer Finite Elemente-Diskretisierung niedrigster Ordnung vorgenommen, während für die Zeitschritte ein semi-implizites Euler-Verfahren verwendet wird. Zur Untersuchung der Methode wurde Code in Python geschrieben, welcher in 1D und 2D auch auf komplexen polygonalen Gebieten die Maxwell-Stefan Gleichungen lösen kann. Mittels der "Method of Manufactured Solutions'', welche ein Problem mit einer bekannten analytischen Lösung erzeugt und im Fall der Maxwell-Stefan Gleichungen erstmals angewendet wurde, wird hierbei die Performance des Codes genauer untersucht und diskutiert.

Whenever describing purely diffusive behavior in multicomponent mixtures, the Maxwell-Stefan equations pose an important framework for various engineering applications, which include polymers, plasmas, ultrafiltration, electrolysis and even diffusion processes in the human lung. In this thesis, the link between molecular diffusion and the continuum-mechanical description in the Maxwell-Stefan equation is made plausible by following the recent exposition by Boudin, which illustrates the physical assumptions under which the Maxwell-Stefan equations pose a valid model for describing multi-component diffusion on a macroscopic scale. In addition, several current efforts of generalizing some of the simplifications made in the model are stated. Furthermore, an important result for the existence of weak solutions to the Maxwell-Stefan equations (as presented by Jüngel and Stelzer) is discussed in detail, by hinting links to the more general framework of the "Boundedness-By-Entropy'' method developed by Jüngel. Finally, a new conforming lowest-order Finite Element discretization in space and a semi-implicit Euler discretization in time is discussed, which employs an "entropy-variable'' formulation of the Maxwell-Stefan equations using techniques from Jüngel. For this purpose, Python code employing this method has been written to solve 1D and 2D problems even on complex polygonal geometries. The performance of the code is then investigated by a benchmark, which employs the Method of Manufactured Solutions, yielding a novel model problem with a given analytic solution.