Continuous and discrete approximations of cross-diffusion and chemotaxis systems

Abstract

Die kontinuierliche und diskrete strukturerhaltende Approximation von Chemotaxis- und Kreuzdiffusionssystemen wird für zwei verschiedene Modelle diskutiert: für das Keller-Segel-System und das Poisson-Maxwell-Stefan-System. Beide makroskopischen Systeme verfügen über reichhaltige mathematische Strukturen, z.B. freie Energie- und Entropiefunktionale. Eine numerische Approximation sollte diese Eigenschaften nützen und widerspiegeln. Ein Teilaspekt dieser Arbeit ist daher, durch die Übersetzung kontinuierlicher Techniken ins Diskrete, strukturerhaltende Schemata zu entwickeln. Weiters werden neue analytische und numerische Ergebnisse für die beiden Kreuzdiffusionssysteme bewiesen bzw. illustriert. Insbesondere werden drei Resultate präsentiert: Es wird ein viriales Argument für das Keller-Segel-System im semidiskreten Fall bewiesen, die Konvergenz eines regularisierten Keller-Segel-Systems zum ursprünglichen System gezeigt und ein strukturerhaltendes Galerkin-Schema entwickelt sowie die Konvergenz dessen zur kontinuierlichen Lösung eines Poisson-Maxwell-Stefan-Systems bewiesen. Die Arbeit und die Ergebnisse können wie folgt zusammengefasst werden: Die Existenz von schwachen Lösungen und oberen Schranken für den Blow-up-Zeitpunkt von zeitdiskreten parabolisch-elliptischen Keller-Segel-Systemen am zweidimensionalen Euklidischen Raum wird bewiesen. Durch die Verwendung einer diskreten Version des klassischen virialen Arguments erhalten wir die gleichen Grenzen für den Blow-up Zeitpunkt wie im bekannten kontinuierlichen Fall. Insbesondere können wir dies für die wichtigsten impliziten Zeitdiskretisierungen zeigen, d.h. die impliziten Euler-, BDF- und Runge-Kutta-Methoden. Diese theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Simulationen mithilfe einer Upwind-Finite-Elemente-Methode in Kombination mit einer Zeitdiskretisierung zweiter Ordnung veranschaulicht. Darüber hinaus untersuchen wir den Limes eines Keller-Segel-Systems mit regularisierender Kreuzdiffusion zum ursprünglichen System. Insbesondere ist der zusätzliche Kreuzdiffusionsterm bekannt dafür, den Blow-up des ursprünglichen Systems zu verhindern. Der Limes des verschwindenden Kreuzdiffusionsparameters wird dabei im parabolisch-elliptischen und parabolisch-parabolischen Fall rigoros bewiesen. Für unterschiedliche Parameter werden dabei zwei verschiedene Techniken eingesetzt, um den Limes zu bilden. Im Fall von sublinearer Signalproduktion wird die Existenz von globalen schwachen Lösungen in der Zeit sowie die Konvergenz der Lösungen zu denen des klassischen parabolisch-elliptischen Keller-Segel-Systems bewiesen. Für den Fall einer superlinearen Signalproduktion bestimmen wir Konvergenzraten für glatte Lösungen, die lokal in der Zeit sind (da hier ein Blow-up nicht ausgeschlossen ist). Der Beweis basiert auf sorgfältigen Abschätzungen in Sobolev-Räumen und einer Variante des Gronwall-Lemmas. Numerische Simulationen in zwei Raumdimensionen veranschaulichen die theoretischen Ergebnisse und quantifizieren die Form der Zellaggregation in Abhängigkeit des Kreuzdiffusionsparameters. Abschließend wird eine volldiskrete Galerkin-Methode eines thermodynamisch konsistenten, transienten Maxwell-Stefan-Systems für die Teilchendichten, gekoppelt mit der Poisson-Gleichung für ein elektrisches Potential, untersucht. Das System modelliert die Diffusionsdynamik eines isothermen und ionisierten Flüssigkeitsgemisches mit verschwindender baryzentrischer Geschwindigkeit. Die Gleichungen werden auf einer beschränkten Umgebung untersucht, wobei die Analyse verschiedene molare Massen berücksichtigt. Die Galerkin-Methode bewahrt die Gesamtmasse, die Nichtnegativität der Teilchendichten, ihre Schranken, und sie erfüllt das zweite Gesetz der Thermodynamik in dem Sinne, dass die diskrete Entropieproduktion nicht negativ ist. Weiters wird die Existenz von Lösungen für das Galerkin-System und die Konvergenz einer Teilfolge zu einer Lösung des kontinuierlichen Systems bewiesen. Numerische Simulationen zeigen die empfindliche Abhängigkeit der Teilchendichten und der Konvergenzrate zum Gleichgewicht von den molaren Massen.

The continuous and discrete structure-preserving approximation of chemotaxis and cross-diffusion systems is discussed for two different models: the Keller-Segel system and the Poisson-Maxwell-Stefan system. Both models feature rich mathematical structures, e.g. free energy and entropy functionals, and a numerical approximation should reflect and use these properties. Hence, one aspect of this thesis is to follow the approach to design structure-preserving schemes by translating continuous arguments to the discrete realm. In particular, three results are shown: A virial argument for the Keller-Segel system in the semi-discrete case is proved, a regularized Keller-Segel system is shown to converge to the original system, and a fully discrete structure-preserving Galerkin scheme is developed and the convergence to the continuous solution of a Poisson-Maxwell-Stefan system is proved. The thesis and results can be subsumed as follows: The existence of weak solutions and upper bounds for the blow-up time to time-discrete parabolic-elliptic Keller-Segel systems on the two-dimensional whole Euclidean space are proved. For various time discretizations, including the implicit Euler-, BDF-, and Runge-Kutta methods, the same bounds for the blow-up time as in the well-known continuous case are derived by discrete versions of the virial argument. The theoretical results are illustrated by numerical simulations using an upwind finite-element method combined with second-order time discretizations. In addition, we investigate the limit of a cross-diffusion regularization of the Keller-Segel system. The additional cross-diffusion term is known to prevent the usual blow-up behavior of this system. The limit of the vanishing cross-diffusion parameter is proved rigorously in the parabolic-elliptic and parabolic-parabolic cases. Two different techniques are used to pass to the limit, depending on the parameter setting in question. When the signal production is sublinear, the existence of global-in-time weak solutions as well as the convergence of the solutions to those of the classical parabolic-elliptic KellerSegel equations are proved. For superlinear signal production terms, convergence rates in the cross-diffusion parameter are proved for local-in-time smooth solutions (since finite-time blow up is possible). The proof is based on careful estimates in Sobolev spaces and a variant of the Gronwall lemma. Numerical simulations in two space dimensions illustrate the theoretical results and quantify the shape of the cell aggregation bumps as a function of the cross-diffusion parameter. Finally, a fully discrete Galerkin scheme for a thermodynamically consistent transient Maxwell-Stefan system for the mass particle densities, coupled to the Poisson equation for the electric potential, is investigated. The system models the diffusive dynamics of an isothermal ionized fluid mixture with vanishing barycentric velocity. The equations are studied in a bounded domain, while different molar masses are allowed. The Galerkin scheme preserves the total mass, the nonnegativity of the particle densities, their boundedness, and it satisfies the second law of thermodynamics in the sense that the discrete entropy production is nonnegative. The existence of solutions to the Galerkin scheme and the convergence of a subsequence to a solution to the continuous system is proved. Numerical simulations show the sensitive dependence of particle densities and equilibration rate on the molar masses.