Theory of distribution-constrained optimization problems

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Betrachtungsweisen von Optimierungsproblemen unter Verteilungsrestriktion. Zunächst kann das Problem als ein klassisches optimales Stoppproblem mit zusätzlichen Informationen aufgefasst werden. Hierbei ist die Verteilung der Stoppzeit gegeben. Es werden finanzund versicherungsmathematische Produkte betrachtet, deren Auszahlungen auf stochastischen Prozessen beruhen. Der Zeitpunkt der Auszahlung ist zufällig und wird daher durch eine Stoppzeit modelliert, die Werte in einem vorgegebenen Zeitbereich annimmt. Diese Stoppzeit soll einer bestimmten Verteilung folgen und kann von dem zugrunde liegenden Auszahlungsprozess abhängen. Die vorgegebene Verteilung enthält zusätzliche Informationen, die bekannt sind oder auf die man Zugriff hat. Unser Ziel ist es, eine Abschätzung für den schlechtesten Fall, also der Worst-Case-Situation, abzuleiten. Zu diesem Zweck bestimmen wir das Supremum der zu erwarteten Auszahlung über alle Stoppzeiten, die die angegebene Randbedingung erfüllen. Ein anderer Ansatz des Problems besteht in der Verwendung von adaptierten zufälligen Wahrscheinlichkeitsmaßen anstelle von Stoppzeiten. Aus mathematischer Sicht handelt es sich bei dem betrachteten Problem um eine spezielle und erweiterte Version eines optimalen Stoppproblems. Desweiteren kann die Aufgabe auch als optimales Transportproblem formuliert und aus Sicht des Transports von Massen diskutiert werden. Ein wichtiger Aspekt bei der Betrachtung dieser Probleme ist die Frage nach einer optimalen Strategie, welche den Maximalwert annimmt. In dieser Arbeit wird die Existenz einer solchen optimalen Strategie für die verschiedenen Ansätze sowohl in diskreter als auch in kontinuierlicher Zeit bewiesen. Ferner werden obere und untere Schranken für die betrachteten Werte hergeleitet. Es werden zusätzlich auch Beispiele und Anwendungen zur Veranschaulichung dargestellt.

This thesis deals with different formulations and views of distribution-constrained optimization problems. One of them is a classical optimal stopping problem with additional information, in particular about the distribution of the stopping time. Consider financial and actuarial products whose payouts are driven by stochastic processes. The time point of the payouts is random and is therefore modeled by a stopping time taking values in a predetermined time domain. This stopping time should follow a given distribution and may depend on the underlying process modeling the payouts. The given distribution contains additional information that is known to us or to which we have access. Our target is to deduce the estimation of the worst-case situation. For this purpose we determine the supremum of the expected payout over all stopping times satisfying the given marginal. An extension is the use of adapted random probability measures instead of stopping times. From a mathematical point of view, the problem being considered is a special and extended version of an optimal stopping problem. For the third approach, the task is reformulated as an optimal transport problem and discussed from a mass transport perspective. An important aspect in considering these problems is the question of an optimal strategy which yields the maximal value. In this thesis, the existence of such an optimal strategy is proven for the different approaches in discrete and in continuous time. Furthermore, upper and lower bounds for our values of interest are derived and examples and applications are illustrated.