Über die Aggregation von Value-at-Risk und Expected Shortfall - Schranken und klassische Verteilungsfamilien

Abstract

Wie kann man voneinander abhängige Risiken aggregieren und messen? Mit dieser Frage beschäftigen wir uns in dieser Diplomarbeit. Dazu werden wir multivariate Verteilungen und die beiden Risikomaße Value-at-Risk und Expected-Shortfall verwenden. Multivariate Verteilungen bestehen aus den einzelnen Randerteilungen und einer Copula, welche die gegenseiteigen Abhängigkeiten der Risiken repräsentiert. Einerseits wollen wir den Fall betrachten, dass die Randverteilungen der einzelnen Risiken gegeben sind und wir obere und untere Grenzen für den Value-at-Risk und den Expected Shortfall suchen, sodass diese für alle Copulae gültig sind. Andererseits wollen wir ein konkretes bivariates Beispiel betrachten und zwei verschiedene numerische Methoden durchführen, um die Verteilung zu berechnen: die numerische Integration und den Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithmus.

How is it possible to aggregate and measure dependent risks? This thesis deals with this question. Therefore, we will use joint probability distribution and two risk measures, Value-at-Risk and Expected Shortfall. Joint probability distributions consist of separate marginal distributions and a copula, which represents the dependence structure. On the one hand we want to consider the case, that the separate marginal distributions are given and we look for upper and lower bounds of the Value-at-Risk and Expected Shortfall. These bounds should be valid for all copulas. On the other hand, we want to consider a bivariate example and conduct two different numerical approaches to calculate the distribution: numerical integration and the Arbenz-Embrechts-Puccetti-Algorithm.