On meromorphic Lévy processes and option pricing

Abstract

Meromorphe Lévy-Prozesse bilden eine Familie von Lévy-Prozessen mit absolut monotoner Lévy-Dichte. Die Wiener-Hopf-Zerlegung eines solchen meromorphen Lévy-Prozesses sowie ihre Dichten lassen sich explizit als Reihen darstellen. In der Finanzmathematik kann bei einem exponentiellen Lévy-Marktmodell diese Darstellung bei der Bewertung von exotischen Optionen, die vom Maximum oder Minimum des Preisprozesses abhängig sind, verwendet werden. Insbesondere lassen sich die Laplace-Transformierten bezüglich der Restlaufzeit der arbitragefreien Preise von Barrier- und Lookback-Optionen explizit darstellen. In dieser Diplomarbeit werden die zentralen Erkenntnisse für meromorphe Lévy-Prozesse und deren Wiener-Hopf-Zerlegung sowie der Zusammenhang zur TheorieMeromorphe Lévy-Prozesse bilden eine Familie von Lévy-Prozessen mit absolut monotoner Lévy-Dichte. Die Wiener-Hopf-Zerlegung eines solchen meromorphen Lévy-Prozesses sowie ihre Dichten lassen sich explizit als Reihen darstellen. In der Finanzmathematik kann bei einem exponentiellen Lévy-Marktmodell diese Darstellung bei der Bewertung von exotischen Optionen, die vom Maximum oder Minimum des Preisprozesses abhängig sind, verwendet werden. Insbesondere lassen sich die Laplace-Transformierten bezüglich der Restlaufzeit der arbitragefreien Preise von Barrier- und Lookback-Optionen explizit darstellen. In dieser Diplomarbeit werden die zentralen Erkenntnisse für meromorphe Lévy-Prozesse und deren Wiener-Hopf-Zerlegung sowie der Zusammenhang zur Theorie der Pick-Funktionen ausführlich im ersten Kapitel besprochen. Im zweiten Abschnitt werden Laplace-Transformierte arbitragefreier Optionspreise in einem meromorphen Lévy-Marktmodell hergeleitet und im abschließenden dritten Teil mittels numerischer Laplace-Inversion für einige Beispiele berechnet. Der zugehörige R Code findet sich ebenfalls im dritten Kapitel. der Pick-Funktionen ausführlich im ersten Kapitel besprochen. Im zweiten Abschnitt werden Laplace-Transformierte arbitragefreier Optionspreise in einem meromorphen Lévy-Marktmodell hergeleitet und im abschließenden dritten Teil mittels numerischer Laplace-Inversion für einige Beispiele berechnet. Der zugehörige R Code findet sich ebenfalls im dritten Kapitel.

Meromorphic Lévy processes form a class of Lévy processes with a completely monotone Lévy density. An analytic expression for the Wiener-Hopf factors of meromorphic Lévy processes and their densities can be derived with tools from complex analysis. In the field of financial mathematics these identities can be used to price exotic options with payoffs depending on the maximum or minimum stock process in an exponential Lévy market model. In particular, explicit formulas for the Laplace transforms with respect to time of arbitrage-free prices of lookback and barrier options can be derived. This thesis provides an in-depth discussion of the fundamental results on meromorphic Lévy processes and their Wiener-Hopf factors in the first part. In the second part we obtain formulas for the Laplace transforms of arbitrage-free option prices using the results on the Wiener-Hopf factorization. Subsequently we compute some explicit examples of exotic option prices by numeric Laplace inversion. The corresponding R code can be found in the final chapter.