Diagrammatic quantum Monte-Carlo with worm-sampling

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit Methoden um physikalische Größen für das Quantenstörstellenproblem zu extrahieren, welches unter anderem die Grundlage der Dynamischen Molekularfeldnäherung (DMFT) bildet. DMFT ist eine Vielteilchentheorie, welche in der Lage ist, die Physik stark korrelierter Elektronen zu beschreiben. Eine Möglichkeit um das Quantenstörstellenproblem zu lösen, ist die Benutzung von Quanten-Monte-Carlo (QMC)-Algorithmen. Innerhalb der letzten Jahre wurden Zeitkontinuum-QMC-Algorithmen der Stand der Technik. Diese Arbeit behandelt die Implementierung des Wurmalgorithmus in die Hybridisierungsentwicklung (CT-Hyb). Wurmalgorithmen sind für unterschiedliche Monte-Carlo-Varianten bekannt, wurden aber erst kürzlich für QMC-Algorithmen adaptiert. In Kapitel 1 geben wir eine Einleitung in das Hubbard-Modell und dessen Abbildung auf das Anderson-Störstellenmodell im Rahmen der DMFT. Danach befassen wir uns mit der Ableitung der Hybridisierungsentwicklung. Diese wird als mathematische und physikalische Basis für die Diskussion der QMC-Implementierung dienen. Abschließend werden einige Eigenschaften der Ein- und Zwei-Teilchen Greenschen Funktionen behandelt. Diese beiden Funktionen beinhalten beinahe die gesamte Physik des Störstellenmodells. In Kapitel 2 geben wir eine Einleitung in die Monte-Carlo-Integration. In der zweiten Hälfte werden die Konzepte der Monte-Carlo-Integration auf die Hybridisierungsentwicklung aus Kapitel 1 angewandt, woraus der QMC-Algorithmus folgt. Abschließend behandeln wir das fermionische Vorzeichen in CT-Hyb genauer. Da das Vorzeichenproblem in allen QMC-Algorithmen auf die ein oder andere Weise vorhanden ist, ist es notwendig, ein gutes Verständnis über dessen Aufbau und Ursache zu bekommen. Während Kaptiel 1 und 2 als Grundlage dieser Arbeit gesehen werden können, baut Kapitel 3 auf diese Konzepte auf, um die Theorie des Wurmalgorithmus zu entwickeln. Wir beschränken uns auf die Messung der Ein- und der Zwei-Teilchen Greenschen Funktionen. Wir motivieren den Wurmalgorithmus im Hinblick auf die Unterschiede der Schätzfunktion zu der Messung im Zustandssummenraum. Wir erwarten bessere Ergebnisse für Fälle, in denen die Schätzfunktion des Zustandssummenraumes ungültig wird. Außerdem erlaubt der Wurmalgorithmus Außerdiagonalelemente der Zwei-Teilchen Greenschen Funktion zu messen. In dem letzten Kapitel liefern wir die Ergebnisse der Messung mittels Wurmalgorithmus. Wir vergleichen den Algorithmus für metallische Systeme und den Mott-Metall-Isolator-Übergang mit Messungen der Ein-Teilchen Greenschen Funktion im Zustandssummenraum. Außerdem zeigen wir Ergebnisse des Zwei-Orbital-Modells f ür Slater-Kanamori-Wechselwirkungen. Letztlich präsentieren wir die Ergebnisse der Zwei-Teilchen Greenschen Funktion mittels Wurmalgorithmus und der Messung im Zustandssummenraum.

This work focuses on methods to extract physical quantities of the quantum impu-rity problem, that is, among others, at the computational heart of dynamical mean field theory (DMFT). DMFT is a many-body method, which is capable of describing the physics of strongly correlated electrons. One way to tackle the impurity problem is by using Quantum Monte Carlo (QMC) impurity solvers. During the last decade, continuous-time QMC solvers became state of the art algorithms to complete this task. This work deals with the implementation of worm sampling within the hybridization expansion (CT-Hyb). Worm sampling is long known in the Monte Carlo community, but has only recently been adapted to QMC algorithms. In Chapter 1 we give an introduction to the Hubbard model and the mapping onto the Anderson impurity model within the DMFT approximation. We then turn our focus on the derivation of the hybridization expansion. This will serve as a mathematical and physical basis for the discussion of the QMC implementation. At the end of this chapter we introduce some properties of one- and two-particle Green-s functions. These two functions include almost all physics encoded in the impurity model. In Chapter 2 we give an introduction to Monte Carlo integration. In the second half, we apply the concepts of Monte Carlo integration to the hybridization ex- pansion derived in Chapter 1, resulting in the QMC algorithm. Lastly, we discuss the fermionic sign in CT-Hyb in more detail. As the sign problem is present in one way or another in all QMC implementations, it is important to have a good understanding on how and why it is occurring. While Chapter 1 and 2 can be considered to be the foundation of this work, Chapter 3 builds upon these concepts to develop the theory of worm sampling in CT-Hyb. We focus on how to measure the one- and two-particle Green-s function using this sampling scheme. We motivate worm sampling by pointing out the differences in the estimator with respect to sampling in partition function space. We expect better results for cases, where the estimator of partition function sampling breaks down. Further, worm sampling opens the possibility of sampling off-diagonal elements of the two-particle Green-s functions. In the last chapter of this work we will present the results of measuring Green-s function using worm sampling. We will benchmark our algorithm for metallic systems and the Mott metal-insulator transition against measurements of the one-particle Green-s function in partition function sampling. We further show how the worm algorithm performs for a two-orbital model with Slater-Kanamori interactions. Lastly, we present results of the two-particle Green-s function using worm sampling and partition function sampling.