Systematische partielle Integration : Grundlagen, Analysis und Anwendung auf Dünnfilmgleichungen

Abstract

Der Ausgangspunkt dieser Arbeit ist eine degenerierte parabolische partielle Differenzialgleichung in einer Raumdimension mit homogenen Neumannoder periodischen Randbedingungen. Beispiele für Probleme, die durch solch eine Gleichung beschrieben werden können, sind dünne Flüssigkeitsfilme oder poröse Medien. Unser Ziel ist es, einen Algorithmus zu der Bestimmung von Lyapunov-Funktionalen für Gleichungen dieser Art vorzustellen. Der Algorithmus besteht aus drei essentiellen Schritten und endet mit dem Lösen eines polynomiellen Entscheidungsproblems, welches wir mit Hilfe einer Quantorenelimination lösen können. Hierfür widmen wir uns der elementaren Algebra, stellen die wichtigsten Definitionen und Resultate vor und gehen auf Apsekte für eine konkrete Implementierung ein. Im Anschluss betrachten wir eindimensionale Dünnfilmgleichungen vierter und sechster Ordnung und bestimmen mit Hilfe des vorgestellten Algorithmus Lyapunov-Funktionale. Abschließend gehen wir noch auf den mehrdimensionalen Fall ein und stellen als eine weitere Anwendung die Bestimmung von logarithmischen Sobolev-Ungleichungen vor.

The starting point of this thesis is a degenerated parabolic partial dierential equation in one space dimension with homogeneous Neumann or periodic boundary conditions. A thin liquid lm or a porous medium can be described by such an equation. Our aim is to present an algorithm, which helps us to establish Lyapunov functionals for this type of equation. The algorithm consists of three essential steps and ends with solving a polynomial decision problem. This can be achieved with quanti er elimination methods. For this we will give a short introduction in the basic concepts of elementary algebra and examine possible obstacles for an actual implementation. Following this, we will establish Lyapunov functionals for a fourth order and a sixth order thin lm equation with the help of our algorithm. Finally we will examine the multidimensional case and present logarithmic Sobolev inequalities as a further application.