Second-order in time numerical integration of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation

Abstract

Die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung (LLG) ist das fundamentale mathematische Modell für Verständnis und Simulation zeitabhängiger mikromagnetischer Phänomene. Schwierigkeiten bei der Entwicklung effizienter numerischer Verfahren sind die Nichtlinearität der Gleichung, eine nicht-konvexe Nebenbedingung, und die Nicht-Eindeutigkeit von Lösungen. Mit dem (zweite Ordnung) Tangent-Plane-Verfahren aus [Alouges et al. (Numer. Math., 128, 2014)] und dem Midpoint-Verfahren aus [Bartels and Prohl (2006) (SIAM J. Numer. Anal., 44)] verfügen wir über zwei Zeitschrittverfahren mit (formal) zweiter Konvergenzordnung in der Zeit. Beide Algorithmen basieren auf der Finite-Elemente-Methode und konvergieren unbedingt. Die spezielle Struktur beider Algorithmen legt bei Erweiterungen die aufwändige implizite Behandlung von etwaigen Termen niedriger Ordnung und von gekoppelten Gleichungen nahe, beispielsweise Streufeld-Berechnungen oder die Kopplung von LLG mit der Maxwell-Gleichung. Um dieses Problem zu umgehen, bedienen wir uns eines implizit-expliziten Adams-Bashforth-artigen Ansatzes, mit dem wir die Terme niedriger Ordnung explizit behandeln. Bei Kopplungen von LLG mit anderen Gleichungen entkoppeln wir die näherungsweise Berechnung der Magnetisierung (als Lösung von LLG) und der Lösung der gekoppelten Gleichung (z.B. elektrisches und magnetisches Feld bei der Kopplung von LLG mit der Maxwell-Gleichung). Die so erhaltenen Algorithmen sind (formal) von zweiter Ordnung in der Zeit. Für die Kopplung mit der Eddy-Current-Gleichung erhalten wir so ein entkoppeltes Tangent-Plane-Verfahren mit Konvergenz zweiter Ordnung in der Zeit. Für die Kopplung mit der Spin-Diffusion-Gleichung erhalten wir so ein entkoppeltes Midpoint-Verfahren mit Konvergenz zweiter Ordnung in der Zeit. Darüber hinaus organisieren wir die Annahmen beider Verfahren in einem einheitlichen Rahmen, der insbesondere physikalisch relevante dissipative Effekte abdeckt. Wir erweitern die bekannte numerische Analysis und beweisen die unbedingte Konvergenz all unserer erweiterten Algorithmen. Zusätzlich behandeln wir Lösungsstrategien für die entsprechenden Variationsformulierungen. Schließlich führen wir mit unseren erweiterten Algorithmen numerische Experimente durch. Diese Experimente bestätigen die Konvergenz zweiter Ordnung in der Zeit, den reduzierten Aufwand und die Anwendbarkeit auf physikalisch relevante Beispiele.

In computational micromagnetism, the Landau-Lifshitz-Gilbert equation (LLG) is the fundamental mathematical model for the understanding and simulation of time-dependent micromagnetic phenomena. The non-linear nature of the equation, a non-convex side constraint, and the non-uniqueness of solutions aggravate the development of efficient numerical algorithms. The (second-order) tangent plane scheme from [Alouges et al. (Numer. Math., 128, 2014)] and the midpoint scheme from [Bartels and Prohl (2006) (SIAM J. Numer. Anal., 44)] provide us with two finite-element-based algorithms, which are both (formally) second-order in time and unconditionally convergent. The particular structure of both algorithms suggests the numerically expensive implicit treatment of possible lower-order terms and of coupled systems like, e.g., the computation of the stray field or, more general, the coupling of LLG with the full Maxwell system. To avoid this and to conserve the second-order in time convergence, we employ an implicit-explicit second-order in time Adams-Bashforth-type approach, where we treat the lower-order terms explicitly in time. For couplings with other equations, this decouples the approximate computation of the magnetization (i.e., the solution of LLG), and of the coupled equation (e.g., electrical and magnetic field of the coupling of LLG with the full Maxwell system). The resulting algorithms are formally second-order in time. For the coupling with eddy currents, this yields a decoupled second-order in time tangent plane scheme. For the coupling with the spin diffusion equation, this yields a decoupled second-order in time midpoint scheme. Moreover, we provide certain assumptions in a unified framework, which covers, in particular, physically relevant dissipative effects. We extend the existing convergence analysis and prove unconditional convergence of our extended algorithms. Moreover, we discuss the efficient solution of the corresponding (linear and non-linear) variational problems. Numerical experiments with our extensions confirm the preservation of the second-order in time convergence, reduced computational costs and the applicability to physically relevant examples of our algorithms.