Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Problemstellung der numerischen Integration multivariater Funktionen in hohen Dimensionen. Insbesondere soll eine neue Methode diskutiert werden, nämlich die der Kubaturformeln für multisymmetrische Funktionen. Die numerische Berechnung von Integranden, die eine große Zahl an Ar-umenten aufweisen, ist eine schwierige Herausforderung, die in natürlicher Weise im Gebiet “Uncertainty Quantification” auftritt, zum Beispiel beim (numerischen) Lösen von stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Hochdimensionale Integration ist im Allgemeinen schwierig, jedoch gibt es bestimmte Klassen von Integranden für die sich das Problem der hochdimensionalen Integration als leichter herausstellt. Wir interessieren uns daher für Klassen von Funktionen, die bestimmte Permutationsinvarianzeigenschaften erfüllen wie etwa multisymmetrische Funktionen. Ziel dieser Arbeit ist zunächst einen kurzen Überblick über die beliebtesten Techniken zu geben, die bei hochdimensionaler Integration zum Einsatz kommen, und anschließend näher auf Kubaturformeln für multisymmetrische Funktionen einzugehen. Die Idee, Kubaturformeln für solche Familien von Funktionen zu betrachten wurde gemeinsam mit meinem Betreuer C. Heitzinger und meinem Kollegen G. Pammer entwickelt. Eine Publikation zu diesem Thema, die inhaltlich in weiten Teilen mit der vorliegenden Arbeit übereinstimmt, wird derzeit rezensiert.
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This thesis is focused on the problem of numerical multivariate integration in high dimensions. In particular, we introduce the idea of interpolatory cubature formulas for multsymmetric functions. The numerical calculation of integrands with a large number of arguments is a challenging problem that arises frequently in Uncertainty Quantification, e.g. in Bayesian Estimation or the solution of stochastic partial differ- ential equations. While high-dimensional integration is very difficult in general, there are certain types of integrand families that are more tractable than others, such as integrands satisfying permutation-invariance properties related to multisymmetry. The goal of this thesis is to provide a short overview over the most popular techniques in the field of high-dimensional numerical integration and then explain the idea of cubature formulas for multisymmetric functions in more detail, an idea that was developed in joint work with my supervisor C. Heitzinger and my colleague G. Pammer. This work closely follows a paper on this topic that is currently under review.
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Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
