Entropy method for hypocoercive Fokker-Planck type equations

Abstract

Diese Dissertation behandelt hypokoerzive Fokker-Planck Gleichungen, insbesondere im Hinblick auf Stationaerzustaende und Langzeitverhalten. Fuer voll parabolische Gleichungen haben sich Entropiemethoden als zuverlaessige Werkzeuge fuer die Untersuchung des Langzeitverhaltens etabliert, insbesondere da sie in einigen Faellen scharfe Abklingraten gegen eindeutige Stationaerzustande liefern koennen. Wir entwickeln eine Entropiemethode fuer degeneriert parabolische Gleichungen. Fuer Gleichungen mit linearen Driftkoeffizienten etablieren wir hinreichende und notwendige Bedingunen, unter denen ein Stationaerzustand existiert, und berechnen die scharfe Abklingrate fuer Anfangsbedingungen mit endlicher Entropie sowie das Spektrum des Operators. Abschliessend untersuchen wir, wie sich diese Resultate auf den Fall nichtlinearer Driftkoeffizienten übertragen lassen. In einem Zusatz diskutieren wir Entropiemethoden fuer offene Quantensysteme in Lindbladform. Wir zeigen Aehnlichkeiten zur Fokker-Planck Gleichung auf und identifizieren die wesentlichen Probleme, die bei diesem Ansatz entstehen.

This thesis deals with hypocoercive Fokker-Planck equations, in particular the existence of steady states and long-term behaviour. For fully parabolic Fokker-Planck equations, entropy methods have been established as reliable tools in the analysis of long-term behaviour, providing sharp decay rate estimates in cases where a unique steady state exists. We show how this method can be extended to deal with degenerate parabolic equations in the context of hypocoercivity. For linear drift coefficients, we give a full characterisation of the equations which possess unique steady states, provide a sharp decay rate for general admissable entropies, and give the full spectrum of the operator. Finally, we discuss how our results extend to the case of nonlinear drift coefficients. In a second part we discuss a possible entropy method for discrete open quantum systems in Lindblad form. We establish a connection to Fokker-Planck equations and discuss the essential problems encountered in this approach.