Semidiskrete transparente Randbedingungen für die Schrödingergleichung mittels Faltungsquadratur

Abstract

Die Stabilität eines Zeitschrittverfahrens für die Schrödingergleichung wird untersucht. Für die numerische Behandlung der Schröderingergleichung, die eigentlich auf dem Vollraum gestellt wird, ist es vorteilhaft, sie auf einem beschränkten Gebiet zu formulieren. Dies kann mittels transparenten Randbedingungen erreicht werden. Diskretisiert werden diese Randbedingungen mit der Faltungsquadratur von C. Lubich. Eine vollständige Fehler und Stabilitätsanalyse wird für den Fall durchgeführt, dass die Faltungsquadratur auf dem impliziten Eulerverfahren beruht. Für den komplizierteren Fall von Faltungsquadratur, die auf A-stabilen Runge-Kutta-Verfahren basiert, wird der Effekt der Quadraturfehler, die bei der Bestimmung der Faltungsquadraturgewichte entstehen, quantifiziert. Die Stabilität der so entstandenen Methode wird gezeigt. Numerische Beispiele belegen die theoretischen Resultate.

The stability of a time discretization of the Schrodinger equation is studied. The Schrodinger equation, originally posed on the full space, is reduced to a bounded domain with the aid of transparent boundary conditions. The discretization of these boundary conditions is realized with convolution quadrature due to C. Lubich. A full error and stability analysis is performed for the case that the convolution quadrature is based on the implicit Euler method. For the more complicated case of a convolution quadrature based on an A-stable Runge-Kutta method, the impact of approximating the convolution quadrature weights by the trapezoidal rule is quantified, and the stability of the resulting method is ascertained. Numerical results illustrate the theoretical results.