Analysis, Numerik und Simulation eines relaxierten Modellproblems zum Mikromagnetismus

Abstract

Das Verstaendnis mikromagnetischer Phaenomene und Prozesse gewinnt zunehmend an Bedeutung als Schluesseltechnologie in unserer modernen Informationsgesellschaft. Ferromagnetische Materialien sind wichtiger Bestandteil in vielfältigen modernen Anwendungen, u.a. in magnetischen Sensoren oder Speichermedien. Allgemein anerkannte Grundlage aller quantitativen numerischen Simulationen ist das Modell von Landau und Lifshitz, bei dem eine Gesamtenergie ueber gewisse Magnetisierungen zu minimieren ist. Bei Betrachtung eines makroskopischen ferromagnetischen Koerpers wird das Infimum des Energiefunktionals im allgemeinen nicht angenommen. Das Modell bedarf daher einer Relaxierung. In der vorliegenden Arbeit wird dabei die Konvexifizierung vorgezogen. Die zum konvexifizierten Problem gehoerigen Euler-Lagrange Gleichungen involvieren einen Integraloperator, der zu den stationaeren Maxwell-Gleichungen korrespondiert. Die Arbeit studiert zunaechst diesen Integraloperator und untersucht dessen analytische Eigenschaften. Es wird vorgeschlagen, die Magnetisierung durch ein L"2-Galerkin-Verfahren zu diskretisieren und die involvierte Nebenbedingung durch eine Penalisierung zu beruecksichtigen. Dieses diskrete Modell wird analysiert, und durch die entsprechende a priori Analysis gerechtfertigt. Adaptive Algorithmen zur numerischen Simulation werden vorgestellt und durch a posteriori Fehleranalysis mathematisch fundiert. Dies erlaubt eine durch Indikatoren gesteuerte adaptive Netzverfeinerung. Der Aufbau der benoetigten Daten wird durch hierarchische Matrizen und Panel Clustering effizient realisiert. Schliesslich werden die erzielten Resultate anhand numerischer Experimente bestaetigt.

Micromagnetic phenomena are of growing importance for modern key technologies. Ferromagnetic materials are used in a variety of modern devices, e.g., magnetic sensor elements or magnetic recording devices. All quantitative numerical simulation is based on the classical model of micromagnetics developed by Landau and Lifshitz. It is based on a variational principle where the bulk energy has to be minimized over a properly chosen set of magnetizations. For macroscopic bodies, however, the model might not have solutions and therefore has to be relaxed. In this work we consider relaxation by convexification. The Euler-Langrange equations of the convexified problem involve an integral operator solving the related stationary Maxwell equations. First, we study the analytical properties of this integral operator. We suggest to discretize the magnetization by an L"2-Galerkin method with piecewise constants which is justified by the corresponding a priori analysis. The side condition for the magnetizations is reflected by a penalization term. Adaptive algorithms for the numerical simulation are provided and justified by a posteriori analysis. This allows an indicator-based adaptive mesh-refinement. The efficient numerical realization is achieved by use of H-matrices and panel clustering. Numerical experiments conclude the work.