Lorentz force actuated resonant MEMS magnetometer with capacitive read-out

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird ein Lorentz-Kraft erregter Kragbalken beschrieben. Dieser wird als Magnetometer zur Detektion sowohl von statischen Magnetfeldern als auch magnetischer Wechselfelder verwendet. Das Bauelement ist in SOI-Technologie gefertigt, wobei die Form des Kragbalkens einem U entspricht. Der einkristalline Signalwandler befindet sich in einer Vakuumkammer, das durch ein Spulenpaar, welches als Helmholtz-Spule das Magnetfeld erzeugt, umgeben ist. Auf den Teststrukturen befindet sich eine Goldleiterbahn, welche durch einen sinusförmigen Wechselstrom durchflossen ist. Der Kragbalken wird durch die Lorentzkraft erregt, wobei die Auslenkung des Balkens ein Maß für die magnetische Flussdichte darstellt. Im Falle eines sinusförmigen magnetischen Flussdichte, enthält die daraus resultierende Lorentzkraft zwei alternierende Terme, welche sowohl Summen- als auch Differenzfrequenzen des Wechselstrom und des magnetischen Wechselfeldes enthalten. Der in Resonanz betriebene Kragbalken wird dabei als Mischer in einer Heterodynen-Konfiguration zur Detektion für magnetische Wechselfelder mit variabler Frequenz verwendet. Dabei tritt Resonanz nur auf, wenn eine dieser Mischfrequenzen in der Nähe der mechanischen Resonanzfrequenz liegt, welche auch die Auswahlregel der Feldkonfiguration erfüllt. Der Schwerpunkt wird im resonanten Betrieb auf der Untersuchung der ersten symmetrischen, der ersten antisymmetrischen und der zweiten symmetrischen Schwingungsmode gelegt.<br />Hierbei ist die Schwingungsamplitude proportional der zur messenden Vektorkomponente des Magnetfeldes. Die Empfindlichkeit eines Resonators wird dabei am sehr stark vom Gütefaktor Q bestimmt. Die Ursachen des Gütefaktor Q sind jedoch derart vielseitig, daß der mechanischen Gütefaktor Q bei kontrolliertem Umgebungsdruck im Bereich von 0,01 Pa bis 100 Pa analysiert wurde. Die experimentellen Ergebnisse wurden mit bestehenden Theorien verglichen, wobei der Vergleich eine Unterbewertung der Dämpfungsparameter für den Knudsen-Bereich von Kn =0,1 bis 10 zur Folge hatte. Das hier präsentierte Dämpfungsmodell berücksichtigt sowohl Quetschfilm-Dämpfung durch freie molekulare Strömung als auch gaskinetische Dämpfung für den quasi-molekularen Bereich. Die Berechnung des Dämpfungskoeffizienten wurde unter Annahme einer freien molekularen Strömung durchgeführt. Der darauf aufbauende Algorithmus basiert auf einem Random-Walk-Modell, welches in Modellen der Direkten Monte Carlo Simulation Verwendung findet. Mit diesem Ansatz wurde die Güte eines Quetschfilm-gedämpften Kragbalkens im quasi-molekularen Bereich hergeleitet. Die daraus resultierenden Ergebnisse wurden mit aktuellen stochastischen Modellen verglichen. Die theoretischen Vorhersagen und die experimentellen Untersuchungen zeigen dabei markante Unterschiede der Knudsen-Zahlen bis 10. Eine Überlagerung beider Dämpfungsmechanismen, der gaskinetischen und Quetschfilm-Dämpfung, zeigt jedoch eine zufriedenstellende Charakterisierung des Dämpfungsverhaltens eines schwingenden Kragbalkens im quasi-molekularen Bereich mit Knudsen-Zahlen von 0,02 bis 10. In dieser Arbeit wurden die Oszillationen des Kragbalkens sowohl mit einem dafür eigens entwickelten, kapazitiven Detektionsverfahren als auch mit einem kommerziellen Laser-Doppler Vibrometer gemessen. Durch die Änderung des Leiterbahnstromes kann der Messbereich des Magnetometers von ein paar hundert nT bis ca. 10mT variiert werden. Dabei bleibt die Empfindlichkeit mit einer Unsicherheit von weniger als einem Prozent für alle drei Schwingungsmoden konstant. Höhere magnetische Flußdichten, wurden mit Permanentmagneten erzielt (max. ca. 300 mT). Das Funktionsprinzip dieses Prototyps ermöglicht eine weitere Miniaturisierung. Die räumliche Auflösung der Magnetfelder ist dabei nur durch die Größe des Kragbalkens bestimmt. Außerdem eignet sich das Heterodyne-Detektionsverfahren mit MEMS, hohe AC-Ströme berührungslos durch Messung der damit verbundenen AC-Magnetflussdichten zu bestimmen.<br />

A Lorentz-force actuated cantilever used as a magnetometer detecting both static and alternating magnetic fields is described. The device consists of a U-shaped single-crystal silicon cantilever manufactured in silicon-on-insulator (SOI) technology. The cantilever is placed in a vacuum chamber surrounded by a pair of coils configured as Helmholtz coil which generates the magnetic field. The test structures are harmonically excited by the Lorentz force acting on the gold lead at the top surface of the cantilever carrying an alternating current, where the deflections of the cantilever are a measure of the magnetic flux density. In the case of a sinusoidal magnetic flux density, the resulting Lorentz force contains two alternating terms including the sum and difference of current and field frequencies. Therefore, the resonating cantilever is used as mixer in a heterodyne detector for alternating magnetic fields with variable frequency. Resonant excitation only occurs if one of these frequencies is close to a mechanical resonance that satisfies the selection rule imposed by the field configuration. In the experiments, emphasis is laid on the investigation of the first symmetric, the first antisymmetric mode and the second symmetric vibration mode, where the amplitude of the vibration is proportional to the exciting vector component of the magnetic field. The sensitivity of a resonator is most affected by the quality factor Q .<br />Since the reasons of the quality factor Q are versatile, especially in rarefied gas regimes, mechanical quality factors Q were analyzed at controlled ambient pressures in the range of 0.01 Pa to 100 Pa. The experimental results were compared with existing theories revealing an underestimate of the damping parameter for the Knudsen range Kn =0.1 to 10. So far, squeeze-film damping by free molecular flow and kinetic damping were taken into account in damping models for the quasi-molecular regime. However, our measurements indicate that also the ongoing molecular flow around the test structures has to be considered.<br />Hence the damping coefficient has to be calculated with methods of the free molecular aerodynamics. Thus, we used an algorithm based on the random walk model that allows the usage of already available knowledge in the field of Direct Simulation Monte Carlo. With this approach the quality factor of a squeezed-film damped cantilever in the quasi-molecular regime was derived. The results were compared with the most recent stochastic model, where the theoretical predictions and the experimental investigations indicate significant squeezing up to a Knudsen number of 10. In a superposition of both damping mechanisms, kinetic and squeeze-film damping, a satisfactory characterization of the damping behavior of an oscillating cantilever in the quasi-molecular regime with Knudsen numbers in the range of 10 down to 0.02 was achieved. For this work the harmonic deflection of the cantilever was measured with a capacitive readout system and additionally, with a laser-Doppler vibrometer. By changing the drive current, the operating range of the magnetometer can be varied from a few hundred nT up to approx. 10 mT, whereas the sensitivity remains constant with an uncertainty of less than one percent, valid for all three vibration modes. For higher magnetic flux densities, a sample of appropriate permanent magnets was used, so that the achieved maximum flux density was around 300 mT. The operation principle of this prototype allows a further miniaturization leading to a spatial resolution of the magnetic field detection determined by the size of the cantilever. It is worth mentioning that the heterodyne detection method with the MEMS device is also suited to measure AC high current flows contactlessly measuring the related AC magnetic flux density.