Existence analysis of cross-diffusion systems in biology

Abstract

Wir untersuchen zwei spezielle parabolische Kreuzdiffusionssysteme, mit Bezug zur Biologie, die durch die Anteile der Komponenten in einer Mehrkomponentenmischung beschrieben werden. Die Existenzanalyse von Kreuzdiffusionsmodellen ist Gegenstand neuerer Untersuchungen. Die Herausforderung dabei besteht darin, dass im Allgemeinen weder Standardresultate noch Maximumprinzipien zur Verfügung stehen. Eine weitere Schwierigkeit in den von uns betrachteten Modellen ist, dass die Diffusionsmatrizen weder symmetrisch noch positiv semidefinit sind und dass eine strenge Kopplung der Systemgleichungen vorliegt. Trotz dieser Schwierigkeiten können wir unter geeigneten Anfangs- und Randbedingungen die globale Existenz beschränkter schwacher Lösungen beweisen. Dazu bedienen wir uns der Entropiemethoden und führen neue Variablen sowie ein Entropiefunktional ein. Wir wenden diese Methoden im ersten Teil der Arbeit auf ein spezielles Tumorwachstumsmodell, bestehend aus zwei Gleichungen, in einer Raumdimension an, welches durch die Volumenanteile von Tumorzellen und extrazellulärer Matrix beschrieben wird. Es stellt sich heraus, dass die Existenz einer Lösung für Werte der Druckkonstante theta kleiner einer explizit berechneten Schranke gezeigt werden kann. Wie numerische Resultate vermuten lassen, können unsere Methoden für allgemeine theta nicht verwendet werden. Im zweiten Teil der Dissertation widmen wir uns Maxwell-Stefan Systemen, bestehend aus N (N größer gleich 2) Gleichungen, die den Diffusionsprozess in Mehrkomponentengasmischungen, zum Beispiel in der Lunge, modellieren. Eine zusätzliche Schwierigkeit hierbei ist, dass die Diffusionsmatrix nicht explizit gegeben ist und nicht klar ist, ob sie existiert. Durch Kombination und Erweiterung unserer Methoden mit bereits existierenden Resultaten, das Spektrum einer mit der Diffusionsmatrix in Verbindung stehenden Matrix betreffend, können wir, unter Verwendung der Perron-Frobenius Theorie, ein Existenzresultat beweisen. Unter bestimmten Voraussetzungen konvergieren diese Lösungen exponentiell gegen ihren homogenen Gleichgewichtszustand.