State event modelling and state event handling in system simulation : alternative methods, comparison and benchmarks

Abstract

Die Dissertation befasst sich mit Analyse, Vergleich und teilweiser Weiterentwicklung von Methoden zur Bestimmung von Zustandsvektoren bei Zustandsereignissen in einem hybriden System bzw. in einem System mit variabler Struktur aus mathematisch-numerischer Sicht, und aus Sicht von mechatronischen Fallstudien. Die Arbeit diskutiert zunächst einige klassische Methoden zur Approximation des Zustandsvektors bei einem Ereignis: ein dem ODE/DAE Solver übergelagertes Nullstellenverfahren versucht die Schrittweite bis zum Ereignis zu approximieren. Diese klassischen Methoden, bei fast allen Systemsimulatoren im Einsatz sind an sich nicht generisch und teilweise ineffizient. Daher entwickelt, analysiert und diskutiert der Autor generische Methoden, die die Nullstellensuche zur Ereignisbestimmung mit dem ODE Solver verbinden. Die Approximation eines Zustandsvektors bei einem Zustandsereignis basiert dabei auf der Berechnung der Schrittweite bis zum Ereignis aus einem reformulierten ODE Solver. Ein erster Ansatz ist eine Reformulierung eines expliziten Solvers durch Integration der Nullstellensuche, was zum einem erweiterten Nullstellenproblem und damit zu einem impliziten Algorithmus führt. In der Folge beschäftigt sich die Arbeit daher auch mit der Reformulierung eines impliziten Solvers durch Integration der Nullstellensuche. Diese Vorgangsweise behält die numerischen Vorteile des impliziten Solvers bei, und die Nullstellensuche des impliziten Solvers braucht nur geeignet modifiziert zu werden. Die Arbeit entwickelt und vergleicht für diese Strategie verschiedene Vorgangsweisen für die Approximation von Schrittweite und Zustandsvektor. Der theoretische Teil der Arbeit schließt dann die Betrachtung von DAE-Systemen mit Zustandsereignissen an. Für hybride Systeme, die von semi-expliziten DAEs beschrieben werden, kann die Strategie der Erweiterung eines impliziten ODE - Solvers erfolgreich fortgesetzt werden. Bei voll-impliziten DAE-Systemen kann nach Indexreduktion dieselbe Strategie verwendet werden. Der theoretische Teil der Arbeit schließt mit der Analyse und Bewertung einer alternativen Methode ab. Diese nach dem Enwickler Henon - Methode genannte Vorgangsweise vertauscht die unabhängige mit der das Zustandsereignis bestimmenden abhängigen Variablen und benötigt damit kein Nullstellenverfahren zur Bestimmung des Zustandsvektors bei einem Ereignis, sie arbeitet aber mit einem üblicherweise (wesentlich) komplizierterem ODE-System. Der praktische Teil der Arbeit untersucht die verglichenen und weiterentwickelten Methoden an drei mechtronischen Fallstudien: Bouncing Ball (hybride ODE-Beschreibung), Filament Pendulum (DAE-System mit variabler Struktur), und Rotor-Stator Dynamik (hybride DAE-Beschreibung) und versucht einen Vergleich und eine Bewertung der Methoden aus Anwendungssicht.

This thesis deals with analysis, comparison and some further developments of methods for state event determination in hybrid and variable-structure systems from view of mathematics, and from view of case studies in mechatronics. The thesis first reviews `classical methods for state event location, where a zero search for the event superimposes the ODE solver. In the following the author concentrates on generic methods for state event location, which integrate the zero search into the ODE solver algorithm. Here, the approximation of the state vector at an event is based on the step-size calculation until the event, using a reformulation of the ODE solver. A direct approach reformulates an explicit ODE solver by integration of the zero search for the step-size until the event, resulting in an extended zero search an implicit algorithm. The thesis therefore concentrates on an implicit generic approach, which integrates the zero search onto an implicit ODE solver. This strategy modifies the zero search for the implicit solver algorithm appropriately by integration the zero search for the step-size until the event. The theoretical part of the thesis continues with event location in DAE systems. For hybrid systems, described by semi-explicit DAEs, the author presents an extended strategy: the zero search for the step-size until the event is implemented into the multidimensional zero search for the algebraic states and for the system states. This method can also be used for fully-implicit systems, after index reduction of the system. The last part of the theoretical part of the thesis analyses an alternative method for state event location, the Henon method. There, independent variable and one dependent variable are exchanged, so that no zero search for the event location is necessary, but the system becomes (much) more complicated. The practical part of the theses analyses the compared and developed strategies for event location with three case studies from mechatronics: bouncing ball (hybrid ODE system), filament pendulum (DAE system with variable structure), and rotor stator dynamics (hybrid DAE system).