Optimales Investment bei Sprungprozessen

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der optimalen Kontrolle der freien Reserve eines Versicherungsunternehmens, welche durch das klassische Cramér-Lundberg Modell, das zusätzlich durch eine Brownsche Bewegung gestört wird, modelliert ist. Das Unternehmen hat die Möglichkeit dieses Vermögen in eine risikobehaftete Anlage und in eine risikofreie Anlage zu investieren. Dabei wird zwischen zwei Problemstellungen unterschieden. Im ersten Fall werden Grenzen für den in das risikoreiche Asset angelegten Anteil der Reserve festgelegt und im zweiten Fall soll dieser unbeschränkt sein und damit Leerverkäufe ermöglicht werden. Es wird für beide Fälle die Existenz der Lösung der entsprechenden Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung bewiesen und gezeigt, dass die Ruinwahrscheinlichkeit eine solche ist. Von großem Interesse ist auch das asymptotische Verhalten der optimalen Strategie und der Ruinwahrscheinlichkeit bei kleiner Reserve, da diese im betrachteten Modell in der Regel nicht analytisch berechenbar sind. Unter der speziellen Annahme von exponentialverteilten Schäden werden zusätzlich asymptotische Aussagen für hohe Reserven getroffen. Anhand von konkreten Beispielen wird gezeigt, wie die Entwicklung der optimalen Kontrollstrategie unter verschiedenen Annahmen aussehen kann.

This thesis deals with the optimal investment control of the free surplus of an insurance company. The surplus process is modelled via the classical Cramér-Lundberg risk process perturbed by a Brownian Motion. The insurer has the possibility to invest the surplus in a risky asset and in a risk free asset. A distinction is made between two cases: In the constrained case there are contraints set for the investment in the risky asset, whereas in the unconstrained case the insurer is free to invest as much as it wants and short selling is permitted. In both settings the existence of a solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation is proven and it is shown that the minimal ruin probability function is such a solution. What is also of major interest is the asymptotic behaviour of the optimal investment control and the minimal ruin probability for low surplus levels, because in this model they are generally not analytically calculable. Under the specific assumption of exponential distributed claims additional statements about the asymptotic behaviour for large surplus levels can be made. Lastly, on the basis of two specific examples possible courses of the optimal control under different assumptions are presented.