Title: Numerical analysis of a tumor growth model using a travelling wave ansatz and singular perturbation theory
Other Titles: Numerische Analysis eines Tumorwachstumsmodells
Language: English
Authors: Schiessler, Elisabeth Johanna 
Qualification level: Diploma
Advisor: Jüngel, Ansgar 
Assisting Advisor: Kühn, Christian 
Issue Date: 2015
Number of Pages: 64
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Diese Arbeit befasst sich mit einem mechanischen Tumorwachstumsmodell, welches verwendet wird um avaskuläres, also im frühen Stadium befindliches, Tumorwachstum zu beschreiben. In dieser Phase expandiert der Tumor durch Proliferation, was rasche Vervielfältigung von Zellen bedeutet. Bei der beschreibenden Gleichung handelt es sich um eine hochgradig nichtlineare, zweidimensionale Reaktions-Diffusions-Gleichung mit vollbesetzter Diffusionsmatrix, die singulär wird bei den Minima bzw. Maxima der beiden Variablen. Diese Tatsache macht eine mathematische Analyse durchaus anspruchsvoll. Die Existenz einer beschränkten schwachen Lösung für alle Zeiten wurde unter gewissen Paramterbeschränkungen gezeigt, numerische Lösungen existieren sogar jenseits dieser Limitierungen. Die Form der erhaltenen Lösungskurven lässt vermuten, dass ein Wanderndes Wellen Verhalten auftritt, was die Motivation und den zentralen Bezugspunkt dieser Arbeit bildet. Es wird daher eine Einführung in Wandernde Wellen Analyse anhand einer (strukturell simpleren) Beispielgleichung gegeben, weiters werden einige Begriffe aus der Theorie dynamischer Systeme vorgestellt, unter anderem sogenannte heterokline und homokline Orbits, welche notwendige Konzepte für Lin's Methode sind. Es folgt eine numerische Analyse des Tumorwachstumsmodells, welche Lin's Methode benüzt. Aufgrund der Struktur der Reaktionsmatrix treten einige Schwierigkeiten auf. Ein Exkurs wird gemacht in das Thema der Singular Perturbation Theory, wobei sogenannte slow-fast-Systeme vorgestellt werden. Anhand spezifischer Typen von Reaktions-Diffusions-Gleichungen wird ein Beispiel gegeben, wie diese zu behandeln sind. Es wird versucht, die vorgestellte Theorie zu erweitern sodass sie auf das Tumorwachstumsmodell angewendet werden kann. Des weiteren werden die Konzepte der wall(s) of singularites und hole(s) in the wall vorgestellt und gezeigt in welchem Zusammenhang diese zu dem Modell stehen.

This thesis is concerned with a mechanical tumor growth model used to describe avascular, i.e. early stage, tumor growth. In this phase, increase of tumor mass happens via proliferation which means rapid reproduction of cells. The governing equation is a highly non-linear two dimensional reaction-diffusion-equation with full diffusion matrix which becomes singular at the maximal and minimal values of the two variables. This fact makes mathematical analysis rather challenging. Global in time existence of bounded weak solutions has been proven under certain parametric restrictions, and numerical solutions persist even beyond these limitations. The shape of resulting curves gives rise to the assumption that some form of travelling wave behaviour is occuring, which is the motivation and main point of interest for this thesis. Therefore an introduction to travelling wave analysis is given based on a (structurally simpler) example equation, and some notions from dynamical systems theory are introduced, amongst them both heteroclinic and homoclinic orbits, which are necessary concepts for Lin's method. A numerical analysis of the tumor growth model follows where Lin's method is applied. Several obstacles arise due to the structure of the diffusion matrix. An excurse is made into singular perturbation theory. So called slow-fast-systems are introduced and an example of how to approach them is given by means of specific types of reaction-diffusion-equations. An attempt is made to extend the presented theory such that it can be applied to the tumor growth model. Furthermore the concepts of wall(s) of singularities and hole(s) in the wall are defined and it is shown how they relate to the model.
Keywords: Kreuzdiffusion; Tumorwachstum; Wandernde Wellen
Cross-diffusion; tumor growth; travveling wave
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-87442
http://hdl.handle.net/20.500.12708/9104
Library ID: AC12661252
Organisation: E101 - Institut für Analysis und Scientific Computing 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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